L'insieme N

Definizione: 

Chiamiamo insieme dei numeri naturali e lo indichiamo con N, l'insieme formato dai simboli ora descritti: N = {0, 1, 2, 3, 4, . . . }  

Aspetto cardinale 

 Dati due insiemi A e B si dice che sono equipotenti se esiste una funzione biunivoca da A in B. 

Dati A e B sottoinsiemi di U si introduce una relazione R ⊆ P(U) × P(U) definita da: ARB se e solo se A `e equipotente a B. 

Grazie a questa relazione possiamo classificare gli insiemi "raggruppandoli" a seconda dell'equipotenza (chiamiamo classi questi "gruppi" di insiemi equipotenti). 

Definiamo: 

zero (con simbolo 0) la classe (d'equivalenza) dell'insieme vuoto, cio`e la classe che contiene tutti gli insiemi equipotenti all'insieme vuoto. 

uno (con simbolo 1) la classe (d'equivalenza) dell'insieme avente come unico elemento ∅, cio`e {∅}. E la classe che contiene tutti gli ` insiemi equipotenti all'insieme {∅}. 

due (con simbolo 2) la classe (d'equivalenza) dell'insieme avente come elementi ∅ e {∅} cio`e {∅, {∅}}. E la classe che contiene tutti ` gli insiemi equipotenti all'insieme {∅, {∅}}. 

Aspetto ordinale

Chiamiamo insieme dei numeri naturali un qualsiasi insieme che soddisfi gli assimo di Peano prima elencati.

Insieme di numerazione

Definizione: 

Un sistema di numerazione `e una struttura costituita da: 

1. un alfabeto, cioè un insieme finito non vuoto di simboli (detti cifre) e dei relativi nomi 

2. una sintassi, cioè un insieme finito e non vuoto di regole mediante le quali si combinano i simboli dell'alfabeto per scrivere e leggere i numeri. 

Nella storia della matematica si `e cercato pi`u di un modo per nominare tutti i numeri mediante pochi vocaboli e rappresentarli mediante pochi simboli opportunamente combinati fra loro. 

Attraverso l'elaborazione di un sistema di numerazione si cerca di far fronte al duplice problema: 

I stabilire i termini (nomi e simboli) di partenza 

II stabilire le regole di combinazione dei termini 

Si stabilisce in particolare che: 

1. b unit`a semplici (dette unit`a del I ordine) formano un'unit`a del II ordine; 

2. b unit`a del II ordine formano un'unit`a del III ordine; 

3. b unit`a di un certo ordine formano un'unit`a dell'ordine immediatamente successivo. 

Osservazione

 Nel nostro sistema di numerazione: 

I 10 unit`a semplici formano una decina (1 da) 

I 10 decine formano un centinaio (1 h) 

I 10 centinaia formano un migliaio (1 K) 

I. . .